Теория игр: это вам не развлечение!

Когда мы слышим словосочетание «теория игр», то никак не можем представить себе, насколько серьёзные математические проблемы за ним стоят. Теория игр – это не про развлечение. Это про то, как компьютер может обыгрывать тебя абсолютно везде и всегда.

Прежде чем перейти к сути, нам нужно разобраться в определениях. Теорией игр называют математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Игра – это процесс, в котором несколько участников ведут борьбу за свои интересы. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от своего поведения и поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать наиболее выгодные стратегии с учётом соображений о других участниках, их ресурсах и их предполагаемых действиях.

Этот раздел математики анализирует конфликты, используя математические методы. Теория получила своё название, так как простейшим примером конфликта является игра. Как в игре, так и в конфликте каждый игрок имеет свои цели и пытается их достигнуть, принимая различные стратегические решения.

Одна из характерных черт всякого общественного, социально — экономического явления состоит в количестве и разнообразии интересов, а также наличии сторон, которые способны выразить эти интересы. Классическими примерами здесь являются ситуации, где, с одной стороны, имеется покупатель, с другой — продавец, когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара. Более сложные ситуации возникают, когда имеются объединения или группы, участвующие в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами или объединениями рабочих и предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте и т.п.

Игра – математическая модель описания конфликта. Примерами игр могут являться также обычные игры: салонные, спортивные, карточные и прочее. Математическая теория игр начиналась именно с анализа подобных игр; они и по сей день служат прекрасным материалом для изображения утверждений и выводов этой теории. Эти игры актуальны и на сегодняшний день.

Итак, каждая математическая модель социально-экономического явления, должна иметь присущие ему черты конфликта, т.е. описывать:

а) множество заинтересованных сторон. В случае, если число игроков ограниченно (конечно), они различаются по своим номерам или по присваиваемым им именам;

б) возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями или ходами;

в) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков, и в соответствии с этой информацией формирует свое поведение.

Правила теории игр

1. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

2. Игра — это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника, каждый из которых стремиться к достижению собственных целей.

3. Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.

4. Количественная оценка результатов игры называется платежом.

5. Игра называется парной, если в ней участвуют только две стороны (два лица).

6. Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

7. Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.

8. Стратегия будет оптимальной, если при многократном повторении она позволяет получить максимально возможный выигрыш или минимальный проигрыш.

Виды игр

Симметричные и несимметричные

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут иметь одинаковые платежи, то есть будут равны. Т.е. если выигрыши за одни и те же ходы не изменятся, при том, что игроки поменяются местами. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные.

С нулевой суммой и с ненулевой суммой

Игры с нулевой суммой — особый вид игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.

Многие изучаемые математиками игры иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме — это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» избыток или восполняет недостаток средств.

Также игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает выгоду. Во всех этих случаях сумма игры увеличивается.

Кооперативные и некооперативные

Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. Но это не всегда верно, так как существуют игры, где коммуникация разрешена, но участники преследуют личные цели, и наоборот. Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Параллельные и последовательные

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или они не информированы о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предыдущих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

С полной или неполной информацией

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация недоступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр — с неполной информацией. Например, вся суть «Дилеммы заключённого» заключается в ее неполноте.

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: шахматы, шашки и другие.

Зачастую понятие полной информации путают со сходным понятием — совершенной информации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

Игры с бесконечным числом шагов

Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов…

Здесь вопрос обычно состоит в том, чтобы найти не оптимальное решение, а хотя бы выигрышную стратегию. (Используя аксиому выбора можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами — «выиграл» или «проиграл» — ни один из игроков не имеет такой стратегии).

Дискретные и непрерывные игры

В большинстве изучаемых игр число игроков, ходов, исходов и событий конечно, т.е. они — дискретны. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных (материальных) чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они всегда связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно — шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры находят своё применение в технике и технологиях, физике.

Применение теории игр

Теория игр — это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение этот раздел математики имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Нейман и Моргенштерн написали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Далее главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. В наше время ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.

Теоретико-игровые разработки применяются при проектировании автоматических систем управления для ракетного/противоракетного оружия, выборе форм аукционов по продаже радиочастот, прикладном моделировании закономерностей денежного обращения в интересах центральных банков, и т.п. Международные отношения и стратегическая безопасность обязаны теории игр (и теории принятия решений) в первую очередь концепцией гарантированного взаимного уничтожения. Это заслуга плеяды блестящих умов (в том числе связанных с RAND Corporation в Санта Монике, Калиф.), дух которой до высших руководящих постов дошел в лице Роберта Макнамары. Следует, правда, признать, что сам Макнамара теорией игр не злоупотреблял.

В военном деле

Информация – один из наиболее значимых в настоящее время ресурсов. И сейчас все также справедливо высказывание «Кто владеет информацией, тот владеет миром». Более того, на первый план выходит необходимость эффективно использовать имеющуюся информацию. Теория игр вкупе с теорией оптимального управления позволяют принимать правильные решения в разнообразных конфликтных и неконфликтных ситуациях.

Изучение задач военных сражений с помощью теории игр (в том числе дифференциальных) – это большой и трудный предмет. Применение теории игр к задачам военного дела означает, что для всех участников могут быть найдены эффективные решения – оптимальные действия, позволяющие максимально решить поставленные задачи.

Попытки разбирать военные игры на настольных моделях делались много раз. Но эксперимент в военном деле (как и во всякой другой науке) есть средство, как для подтверждения теории, так и для нахождения новых путей для анализа.

Военный анализ есть вещь гораздо более неопределенная в смысле законов, предсказаний и логики, нежели физические науки. По этой причине моделирование с подробно и тщательно подобранными реалистическими деталями не может дать общего достоверного результата, если партия не будет повторена очень большое число раз. С точки зрения дифференциальных игр единственное, на что можно надеяться, – это на подтверждение заключений теории. Особенно важен случай, когда такие заключения выведены исходя из упрощенной модели (по необходимости это случается всегда).

В некоторых случаях дифференциальные игры в задачах военного дела играют совершенно явную и не требующую особых комментариев роль. Это верно, например, для большинства моделей, включающих преследование, отступление и другое маневрирование подобного рода.

Довольно таки часто в конфликтных ситуациях противоборствующие стороны объединяются в союзы для достижения лучших результатов. Поэтому возникает необходимость изучения коалиционных дифференциальных игр. Кроме того, идеальных ситуаций, не имеющих каких-либо помех, в мире не существует. А значит, целесообразно исследовать коалиционные дифференциальные игры при неопределенности. Существуют различные подходы к построению решений дифференциальных игр.

Во время второй мировой войны научные разработки фон Неймана оказались бесценными для американской армии – военные начальники говорили, что для Пентагона ученый представляет такое же значение, как целая армейская дивизия. Вот пример использования Теории игр в военном деле. На американских торговых судах устанавливались зенитные установки. Однако за все время войны этими установками так и не был сбит ни один вражеский самолет. Возникает справедливый вопрос: стоит ли вообще оснащать суда, не предназначенные для ведения боевых действий, таким оружием. Группа ученых под руководством фон Неймана, изучив вопрос, пришла к выводу — само знание неприятелем о наличии таких орудий на торговых судах резко уменьшает вероятность и точность их обстрелов и бомбежек, а потому размещение «зениток» на этих судах, вполне доказало свою эффективность.

В управлении

В качестве примеров применения теории игр в управлении можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций и т.д. Положения данной теории в принципе можно использовать для всех видов решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими лицами, или игроками, необязательно должны быть рыночные конкуренты; в их роли могут выступать субпоставщики, ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также коллеги по работе.

Какую пользу могут извлечь компании из анализа на базе теории игр? Известен, например, случай столкновения интересов компаний IВМ и Telex. Компания Telex объявила о вступлении на рынок продаж, в связи с этим состоялось “кризисное” совещание руководства IВМ, на котором были проанализированы действия, направленные на то, чтобы заставить нового конкурента отказаться от намерения проникнуть на новый рынок. Об этих действиях, видимо, стало известно компании Telex. Но проведенный анализ на базе теории игр показал, что угрозы IВМ из-за высоких затрат безосновательны. Это доказывает, что компаниям полезно обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания-аутсайдер могла бы и выбрать ход “невступление”, если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию компании-монополиста. В этой ситуации разумно выбрать ход “невступление” при вероятности агрессивного ответа 0,5, в соответствии с критерием ожидаемой стоимости .

Важный вклад в использование теории игр вносят экспериментальные работы . Многие теоретические выкладки отрабатываются в лабораторных условиях, а полученные результаты служат важным элементом для практиков. Теоретически было выяснено, при каких условиях двум эгоистически настроенным партнерам выгодно сотрудничать и добиваться лучших для себя результатов.

Эти знания можно использовать в практике предприятий, чтобы помочь двум фирмам достичь ситуации “выигрыш/выигрыш”. Сегодня консультанты с подготовкой в области игр быстро и однозначно выявляют возможности, которыми предприятия могут воспользоваться для заключения стабильных и долгосрочных договоров с клиентами, субпоставщиками, партнерами по разработкам и т.п.

Применение в прочих областях

В биологии

Очень важное направление — это попытки применить теорию игр в биологии и понять, как сама эволюция строит оптимальные стратегии. Здесь, в сущности, тот же метод, который помогает нам объяснить человеческое поведение. Ведь теория игр не говорит, что люди всегда действуют осознанно, стратегически, рационально. Скорее речь идет об эволюции определенных правил, которые дают более полезный результат, если их придерживаться. То есть люди зачастую не просчитывают свою стратегию, она постепенно формируется сама по мере накопления опыта. Эта идея воспринята теперь и в биологии.

В компьютерных технологиях

Еще больше востребованы исследования в сфере компьютерных технологий, например анализ аукционов, которые проводятся компьютерами в автоматическом режиме. Кроме того, теория игр сегодня позволяет еще раз задуматься над тем, как работают компьютеры, каким образом строится кооперация между ними. Скажем, серверы в сети можно рассматривать как игроков, которые пытаются скоординировать свои действия.

В играх

Шахматы — это предельный случай теории игр, поскольку все, что вы делаете, направлено исключительно на вашу победу и вам не нужно заботиться о том, как на это отреагирует партнер. Достаточно убедиться, что он не сможет отреагировать эффективно. То есть это игра с нулевой суммой. И конечно, в других играх культура может иметь определенное значение.

Почему теорию игр не применяют еще шире?

И в политике, и в экономике, и в военном деле специалисты-практики натолкнулись на принципиальные ограничения фундамента современной теории игр .

Во-первых, человек не настолько совершенен, чтобы все время мыслить стратегически. Для преодоления этого ограничения теоретики начали исследовать эволюционные формулировки равновесия, для которых свойственны более слабые допущения по уровню рациональности.

В-вторых, исходные предпосылки теории игр по информированности игроков о структуре игры и платежах в реальной жизни соблюдаются не так часто, как хотелось бы. Теория игр весьма болезненно реагирует на малейшие (с точки зрения обывателя) изменения в правилах игры резкими сдвигами в предсказываемых равновесиях.

Как следствие этих проблем, современная теория игр находится в «плодотворном тупике».

В заключение следует особо подчеркнуть, что теория игр является очень сложной областью знания. При обращении с ней надо соблюдать известную осторожность и четко знать границы применения.. Анализ и консультации на основе теории игр из-за их сложности рекомендуются лишь для особо важных проблемных областей. Опыт фирм показывает, что использование соответствующего инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных плановых стратегических решений, в том числе при подготовке крупных  договоров. Однако применение теории игр облегчает нам понимание сущности происходящего, а многогранность данного раздела науки позволяет нам успешно использовать методы и свойства этой теории в различных областях нашей деятельности.